Chebyshev P.L. Оеуврес II (Челси, 1961) М. , Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s)_M

Chebyshev P.L. Оеуврес II (Челси, 1961) М.

Chebyshev P.L. Oeuvres II (Chelsea, 1961)(fr)(T)(809s)_M_.djvu

Size 7.0Mb
Date Jun 22, 2005

Cites: En effet, il est facile de moutrer que, les points A1, A^et les centres
G1, Ca étant tels qu'on ait
la différence
pendant le mouvement considéré du triangle, ne changera point de valeur...
Donc, toutes les fois que le point M du parallélogramme viendra sur
la droite FG, le point J^ se trouvera sur une circonférence tracée du centre
C2 par un certain rayon; et, par conséquent, la courbe que décrit le point Aa
aura autant d'éléments communs avec un cercle que la courbe tracée par le
sommet M en a...
,(x-xfN(l -^xfil—x)
représente un polynôme de degré non supérieur à celui de TQi que ce poly-
polynôme, comme le polynôme To lui-même, conserve le signe -+- dans l'inter-
l'intervalle de# = — 1 àir = +l et que son rapport à To reste fini pour les
valeurs de x entre x = —1 et x = -t-1...
Ayant trouvé la réduite de ce développement au déno-
dénominateur de degré m, faisons d'abord disparâitre dans les termes de cette
fraction les diviseurs contenant la quantité X (ce qu'on peut faire toujours
en multipliant le numérateur et le dénominateur par une certaine fonction
de X)...
En appliquant les mêmes raisonnements aux équations
a %ix — %i—i a
nous nous convaincons de ce que toutes les racines de l'équation
seront moindres que la plus grande racine de l'équation
XZ=O...
D'ailleurs pour tout degré donné le rapport
segment A CB
triangle ACD
aura pour limite une quantité inférieure à 1...
Posant l = 1, nous trouvons que la première de ces équations se réduit
à celle-ci:
et la seconde à
Remarquant que la plus grande racine de la première équation est
j/JL et de la seconde y, nous concluons d'après ce qui précède que la li-
limite supérieure du rapport
segment ACB
triangle ACD
pour les lignes paraboliques du second degré est y et pour celles du troi-
troisième l/y-
SUR UNE SÉRIE
qui rorasir
MS Y1KÏÏRS SXTRÊSffiS DIS IHTÉGR1L1S,
LORSQUE LA FONCTION SOUS LE SIGNE EST DÉCOMPOSÉE EN
DEUX FACTEURS...
<p'(a?n), se réduit à celle qui suit:
C) Po ==
Les limites de toutes les variables dans les intégrales que nous consi-
considérons sont les mêmes, savoir: a et b...
Cette fonction peut être exprimée à l'aide des fonctions cpm_1(«), cpm(#)
seulement, si l'on connaît les valeurs des 2m intégrales
b b b
\f(x)dx, \xf(x)dx, j^m-lf(x)dx...
En désignant par L le plus grand écart de zéro
entre x=—h et x=--*-h d'une telle fonction et remarquant que pour
toute autre fonction du même degré et ayant la valeur M pour x = H le
plus grand écart de zéro entre x = — h et x= •+- h surpassera L, nous
devons conclure que le rapport
M_
L '
correspondant à la fonction considérée, représentera la limite supérieure du
rapport de la valeur d'une fonction entière de degré n pour x = H au plus
grand écart de zéro de la même fonction entre x = — h et x = -*-h...
La quantité ZT étant en dehors des limites x = — h, x=-t-h,
entre lesquelles se trouvent toutes les (x quantités
aucune des différences
X^ — JQ, X% — J3, • • • • , 3/ "— JLÏ
ne peut se réduire à zéro...
Mais, comme on a remarqué, les racines simples
de l'équation C) ne peuvent être que
x = — h, x = -t-h,
ce qui entraîne la divisibilité de son premier membre par le produit
(x — h) (x-t-h)...
Par
conséquent notre équation, dont le premier membre représente une fonction
entière, ne peut être satisfaite que dans le cas où l'un et l'autre de ses
membres se réduisent à zéro, c'est à dire, lorsque
F{x)Q — 0(x)P=O...