Lagrange J.L. Oeuvres, Том 01 (Готье Виллар 1867), Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 01 (Gauthier-Villars 1867)(fr)(600dpi)(T)(787s).djvu:

Lagrange J.L. Oeuvres, Том 01 (Готье Виллар 1867)

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Date Sep 25, 2004

Cites: — Si Ton voulait se borner à chercher les valeurs de x,
yy z par les séries, on y parviendrait fort aisément par les principes du
n° 47; car, développant en suites infinies les expressions cos(f V — ck) et
sin (/ \j— ck) de l'équation (D), et faisant ensuite évanouir toutes les puis-
puissances de k par les transformations enseignées dans le même numéro, on
obtiendra une équation qui ne renfermera que les fonctions inconnues L,
M, N avec leurs différences; or ces différences pourront toujours se ré-
réduire aux quantités finies L, M, N par les opérations connues des inté-
intégrations par parties; car, soit par exemple
un terme quelconque de l'équation 'D) transformée comme nous venons
de le dire, ce terme se réduira, en négligeant toujours les intégrales à
deux seules changeantes, à
^^'^LdXdYdZ,
et généralement il suffira d'ôter les différentiations aux quantités L, M,
N, et de les appliquer aux quantités {x), (y), (z), (x')9 (/'), (z')9 par
lesquelles celles-là sont multipliées...
Ces différences paraissent à la vérité trop fortes pour qu'on puisse rai-
raisonnablement supposer qu'elles aient échappé aux savants Physiciens
qui ont déterminé par l'expérience les lois de la compression de l'air;
aussi je ne donne l'hypothèse de l'élasticité proportionnelle à D<+^ que
comme une légère conjecture, et je me contenterai seulement de faire
observer que l'expérience même paraît jusqu'à un certain point favo-
I...
Lorsque les flûtes n'ont pas une forme cylindrique, ou en général
lorsqu'il s'agit des trompettes et des cors de chasse, il semble qu'on
pourrait tirer leur théorie des calculs du n° 30; cependant voici une
difficulté...
supposer de nouveau, au lieu des équations (p), (q)9 (r),
dXdZ
pr"t~ ~dv~*~ dzdx
et ensuite
d'où, par des opérations analogues à celles qui ont été pratiquées ci-
dessus, on parviendra aux formules suivantes :
x = \e' cos (/i/^ô7) +-^L.sin(tJW)] <?{*', X, Y, Z)
L \fca' J
[~E"
L
cos(/ y'^?) -f- -ILsin (/ yW7)] ? («% X, Y, Z)
-f- -2= sin (/ ^^0^I ? («'"» X, Y, Z),
/c'" J
' = [F' cos [t v.'ca' j - E' yW sin {t sJcol' )\ 9 (a', X, Y, Z)
-4- [F//cos(/ sfc^r) — E'v^sinf/v^â^j] 9 (a", X, Y, Z)
-f- [Fwcos(/ v'ëfl?) — Ewv'ëâ7*sin(/v/ëaii)] <p (a'", X, Y, Z),
qui donnent les mouvements des particules composés de trois mouve-
mouvements simples, analogues chacun à celui du n°60; d'où il s'ensuit que
Tisochronisme n'y aura lieu que lorsque les quantités a', a", a"\ qui
expriment trois valeurs quelconques de — k, seront toutes commensu-
rables entre elles...
Or, si Ton regarde ces fonctions comme indéterminées, on pourra en
connaître la valeur par le moyen de la substitution et de la comparaison,
ainsi qu'on le pratique dans la méthode connue des indéterminées...
Car les valeurs de x9 y, z sont com-
composées de suites infinies dont les termes ne sont point convergents
ou du moins ne peuvent point être regardés comme tels, puisque les
constantes E, F, que ces termes renferment, dépendent des premières
valeurs de x9 y, z, et de a/, y, z\ qui doivent être supposées quelconques...
Il me semble qu'on
ne saurait contester l'exactitude d'une telle substitution sans renverser
les principes les plus communs de l'analyse...
Mais je le prie de faire attention que, dans ma solution, la détermina-
détermination de la figure de la corde à chaque instant dépend uniquement des
quantités Z et U, lesquelles n'entrent point dans l'opération dont il
s'agit...