Lagrange J.L. Oeuvres, Том 02 (Готье Виллар 1868) М. , Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 02 (Gauthier-Villars 1868)(fr)(600dpi)(T)(733s)_M

Lagrange J.L. Oeuvres, Том 02 (Готье Виллар 1868) М.

Lagrange J.L. Oeuvres, Tome 02 (Gauthier-Villars 1868)(fr)(600dpi)(T)(733s)_M_.djvu

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Date Apr 29, 2005

Cites: Cela posé, je remarque d'abord que, pour que l'équation
Xr2 = p2— Bq7
puisse subsister, il faut que A soit un diviseur d'un nombre de cette
forme oc2 — B, oc étant un nombre entier, c'est-à-dire que B soit le résidu
de la division d'un carré quelconque par A...
équation analogue à la précédente
Faisant de même a2 = jul2 A2 =t a,, et prenant fA2 et le signe de «o en
sorte que l'on ait a2 <C--2 (les nombres a2 et A2 étant considérés comme
positifs), on aura ol\— B divisible par A2; de sorte qu'en dénotant le
quotient de cette division par A3, on aura cette troisième équation
A2 A3 z=z al — B,
et ainsi de suite...
Or, l'équation
étant semblable à l'équation
Ar'2~ p2~Bq-,
on pourra la traiter de la même manière; en effet, si B — dt C, il faudra
quep< soit aussi divisible par B, de sorte qu'en faisant/?! = Bsn on aura
l'équation
c'est-à-dire
Ks) = r]-±zq]...
Soit M la plus grande mesure commune de V et 2, en
sorte que V = MN et £ = Mp, p et N étant premiers entre eux, et l'on
N<22
aura ^ = } donc z2 = p<j9 et par conséquent S = Mp, <|> = N<7, M et N
étant deux facteurs quelconques de V; or, soit / la plus grande commune
mesure de p et a, et comme pç doit être égal à un carré, il est clair que p
et a ne pourront être que de cette forme p = lm2 et c = In2, /, m et n
étant des nombres quelconques entiers; ainsi Ton aura
z2 = l*m*n7, g = x -4- y = M/m2, + = jr — j
donc
2 + Nn2) /(Mm2 —N/i2
S 7'zzr
2 =
mais, comme il est inutile d'avoir dans les expressions de xy y et z un
multiplicateur commun, parce qu'il est visible que, dans l'équation
on peut toujqurs multiplier à volonté x9 y et z par un nombre quelcon-
quelconque, on fera pour plus de simplicité /=i ou bien 1=2 pour faire dis-
disparaître le dénominateur 2 de x et de j, et l'on aura en général
x — Mma + NnJ, j, ,
m et n étant des nombres quelconques entiers, et M et N deux facteurs
DU SECOND DEGRÉ...
SUR LÀ SOLUTION DES PROBLÈMES INDÉTERMINÉS
On en usera de même à l'égard des autres équations de condition
C D
dans lesquelles il faudra aussi que B4<t-+i, C,<t+i
Dans l'exemple proposé on trouve d'abord 2.109 -f- 7 = 225 ; de sorte
qu'on aura A< = 2, a = i5; et comme A4 est déjà <B, la première
suite d'équations secondaires se réduira à cette seule équation A2)
(a) 109...
Pour
faire cette multiplication plus aisément, on multipliera d'abord la
deuxième et la troisième de ces équations ensemble, et faisant, pour
abréger, jm = 9.111 d= 3o, v = 111 ± 9, on aura
24i.5ia = ]K*— 3v2;
ensuite on multipliera cette équation par la première des équations (a),
et faisant encore jx, = 593jjl d= 3ov, v, = 5g3v ± jjl, on aura
1459 ( 241.5iJ — ix\ —
équation qui, étant multipliée maintenant par l'équation
donnera celle-ci
1459( 241.5i qx Y =s=((x,p, ± 3ov, r, ? — (^, r, zfc y,px )\
DU SECOND DEGRÉ...
Soit donc proposée l'équation
dans laquelle p et q doivent être des nombres entiers et premiers entre
eux...
A
Donc si, parmi les nombres naturels moindres que —> on n'en trouve
aucun dont le carré diminué de B soit divisible par A, on en conclura
que l'équation est impossible...
Car, si a et b avaient un commun diviseur p autre que 2, il faudrait
que a et |3 fussent aussi divisibles par p; donc, A étant divisible par p2
et a par p, il est clair que B devrait être aussi divisible par p2, de sorte
que A et B seraient divisibles à la fois par p2, ce qui est contre Pbypo-
thèse B3)...